0072.编辑距离

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# 72. 编辑距离 [力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/edit-distance/) 给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数。你可以对一个单词进行如下三种操作： * 插入一个字符 * 删除一个字符 * 替换一个字符 * 示例 1： * 输入：word1 = "horse", word2 = "ros" * 输出：3 * 解释： horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r') rorse -> rose (删除 'r') rose -> ros (删除 'e') * 示例 2： * 输入：word1 = "intention", word2 = "execution" * 输出：5 * 解释： intention -> inention (删除 't') inention -> enention (将 'i' 替换为 'e') enention -> exention (将 'n' 替换为 'x') exention -> exection (将 'n' 替换为 'c') exection -> execution (插入 'u') 提示： * 0 <= word1.length, word2.length <= 500 * word1 和 word2 由小写英文字母组成 ## 算法公开课 **[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[动态规划终极绝杀！ LeetCode：72.编辑距离](https://www.bilibili.com/video/BV1qv4y1q78f/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。 ## 思路编辑距离终于来了，这道题目如果大家没有了解动态规划的话，会感觉超级复杂。编辑距离是用动规来解决的经典题目，这道题目看上去好像很复杂，但用动规可以很巧妙的算出最少编辑距离。接下来我依然使用动规五部曲，对本题做一个详细的分析： ### 1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义 **dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]**。有同学问了，为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢，为啥不表示下标i为结尾的字符串呢？为什么这么定义我在 [718. 最长重复子数组](https://programmercarl.com/0718.最长重复子数组.html) 中做了详细的讲解。其实用i来表示也可以！用i-1就是为了方便后面dp数组初始化的。 ### 2. 确定递推公式在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：

if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
    不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
    增
    删
    换

也就是如上4种情况。 `if (word1[i - 1] == word2[j - 1])` 那么说明不用任何编辑，`dp[i][j]` 就应该是 `dp[i - 1][j - 1]`，即`dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];` 此时可能有同学有点不明白，为啥要即`dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]`呢？那么就在回顾上面讲过的`dp[i][j]`的定义，`word1[i - 1]` 与 `word2[j - 1]`相等了，那么就不用编辑了，以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串`word2`的最近编辑距离`dp[i - 1][j - 1]`就是 `dp[i][j]`了。在下面的讲解中，如果哪里看不懂，就回想一下`dp[i][j]`的定义，就明白了。 **在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解`dp[i][j]`的定义！** `if (word1[i - 1] != word2[j - 1])`，此时就需要编辑了，如何编辑呢？ * 操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离再加上一个操作。即 `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;` * 操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离再加上一个操作。即 `dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;` 这里有同学发现了，怎么都是删除元素，添加元素去哪了。 **word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素**，例如 `word1 = "ad" ，word2 = "a"`，`word1`删除元素`'d'` 和 `word2`添加一个元素`'d'`，变成`word1="a", word2="ad"`，最终的操作数是一样！ dp数组如下图所示意的：

            a                         a     d
   +-----+-----+             +-----+-----+-----+
   |  0  |  1  |             |  0  |  1  |  2  |
   +-----+-----+   ===>      +-----+-----+-----+
 a |  1  |  0  |           a |  1  |  0  |  1  |
   +-----+-----+             +-----+-----+-----+
 d |  2  |  1  |
   +-----+-----+

操作三：替换元素，`word1`替换`word1[i - 1]`，使其与`word2[j - 1]`相同，此时不用增删加元素。可以回顾一下，`if (word1[i - 1] == word2[j - 1])`的时候我们的操作是 `dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]` 对吧。那么只需要一次替换的操作，就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。所以 `dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;` 综上，当 `if (word1[i - 1] != word2[j - 1])` 时取最小的，即：`dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;` 递归公式代码如下：

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}

--- ### 3. dp数组如何初始化再回顾一下dp[i][j]的定义： **dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]**。那么dp[i][0] 和 dp[0][j] 表示什么呢？ dp[i][0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]。那么dp[i][0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i; 同理dp[0][j] = j; 所以C++代码如下：

for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;

### 4. 确定遍历顺序从如下四个递推公式： * `dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]` * `dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1` * `dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1` * `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1` 可以看出dp[i][j]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图： ![72.编辑距离](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210114162113131.jpg) 所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。代码如下：

for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
    for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
        if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
        }
        else {
            dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
        }
    }
}

### 5. 举例推导dp数组以示例1为例，输入：`word1 = "horse", word2 = "ros"`为例，dp矩阵状态图如下： ![72.编辑距离1](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210114162132300.jpg) 以上动规五部分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));
        for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                }
                else {
                    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

* 时间复杂度: O(n * m) * 空间复杂度: O(n * m) ## 其他语言版本 ### Java：

public int minDistance(String word1, String word2) {
    int m = word1.length();
    int n = word2.length();
    int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
    // 初始化
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        dp[i][0] =  i;
    }
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            // 因为dp数组有效位从1开始
            // 所以当前遍历到的字符串的位置为i-1 | j-1
            if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}

### Python：

class Solution:
    def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
        dp = [[0] * (len(word2)+1) for _ in range(len(word1)+1)]
        for i in range(len(word1)+1):
            dp[i][0] = i
        for j in range(len(word2)+1):
            dp[0][j] = j
        for i in range(1, len(word1)+1):
            for j in range(1, len(word2)+1):
                if word1[i-1] == word2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
                else:
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1
        return dp[-1][-1]

### Go：

func minDistance(word1 string, word2 string) int {
    m, n := len(word1), len(word2)
    dp := make([][]int, m+1)
    for i := range dp {
        dp[i] = make([]int, n+1)
    }
    for i := 0; i < m+1; i++ {
        dp[i][0] = i // word1[i] 变成 word2[0], 删掉 word1[i], 需要 i 部操作
    }
    for j := 0; j < n+1; j++ {
        dp[0][j] = j // word1[0] 变成 word2[j], 插入 word1[j]，需要 j 部操作
    }
    for i := 1; i < m+1; i++ {
        for j := 1; j < n+1; j++ {
            if word1[i-1] == word2[j-1] {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
            } else { // Min(插入，删除，替换)
                dp[i][j] = Min(dp[i][j-1], dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + 1
            }
        }
    }
    return dp[m][n]
}
func Min(args ...int) int {
    min := args[0]
    for _, item := range args {
        if item < min {
            min = item
        }
    }
    return min
}

### Javascript：

const minDistance = (word1, word2) => {
    let dp = Array.from(Array(word1.length + 1), () => Array(word2.length+1).fill(0));

    for(let i = 1; i <= word1.length; i++) {
        dp[i][0] = i; 
    }

    for(let j = 1; j <= word2.length; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }

    for(let i = 1; i <= word1.length; i++) {
        for(let j = 1; j <= word2.length; j++) {
            if(word1[i-1] === word2[j-1]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
            } else {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j] + 1, dp[i][j-1] + 1, dp[i-1][j-1] + 1);
            }
        }
    }

    return dp[word1.length][word2.length];
};

### TypeScript：

function minDistance(word1: string, word2: string): number {
    /**
        dp[i][j]: word1前i个字符，word2前j个字符，最少操作数
        dp[0][0]=0：表示word1前0个字符为'', word2前0个字符为''
     */
    const length1: number = word1.length,
        length2: number = word2.length;
    const dp: number[][] = new Array(length1 + 1).fill(0)
        .map(_ => new Array(length2 + 1).fill(0));
    for (let i = 0; i <= length1; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (let i = 0; i <= length2; i++) {
        dp[0][i] = i;
    }
    for (let i = 1; i <= length1; i++) {
        for (let j = 1; j <= length2; j++) {
            if (word1[i - 1] === word2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                dp[i][j] = Math.min(
                    dp[i - 1][j],
                    dp[i][j - 1],
                    dp[i - 1][j - 1]
                ) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[length1][length2];
};

### C：

int min(int num1, int num2, int num3) {
    return num1 > num2 ? (num2 > num3 ? num3 : num2) : (num1 > num3 ? num3 : num1); 
}

int minDistance(char * word1, char * word2){
    int dp[strlen(word1)+1][strlen(word2)+1];
    dp[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= strlen(word1); i++) dp[i][0] = i;
    for (int i = 1; i <= strlen(word2); i++) dp[0][i] = i;

    for (int i = 1; i <= strlen(word1); i++) {
        for (int j = 1; j <= strlen(word2); j++) {
            if (word1[i-1] == word2[j-1]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
            }
            else {
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i][j-1], dp[i-1][j]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[strlen(word1)][strlen(word2)];
}

Rust：

impl Solution {
    pub fn min_distance(word1: String, word2: String) -> i32 {
        let mut dp = vec![vec![0; word2.len() + 1]; word1.len() + 1];
        for i in 1..=word2.len() {
            dp[0][i] = i;
        }

        for (j, v) in dp.iter_mut().enumerate().skip(1) {
            v[0] = j;
        }
        for (i, char1) in word1.chars().enumerate() {
            for (j, char2) in word2.chars().enumerate() {
                if char1 == char2 {
                    dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j];
                    continue;
                }
                dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j + 1].min(dp[i + 1][j]).min(dp[i][j]) + 1;
            }
        }

        dp[word1.len()][word2.len()] as i32
    }
}

> 一维 dp

impl Solution {
    pub fn min_distance(word1: String, word2: String) -> i32 {
        let mut dp = vec![0; word1.len() + 1];
        for (i, v) in dp.iter_mut().enumerate().skip(1) {
            *v = i;
        }

        for char2 in word2.chars() {
            // 相当于 dp[i][0] 的初始化
            let mut pre = dp[0];
            dp[0] += 1; // j = 0, 将前 i 个字符变成空串的个数
            for (j, char1) in word1.chars().enumerate() {
                let temp = dp[j + 1];
                if char1 == char2 {
                    dp[j + 1] = pre;
                } else {
                    dp[j + 1] = dp[j + 1].min(dp[j]).min(pre) + 1;
                }
                pre = temp;
            }
        }

        dp[word1.len()] as i32
    }
}