0108.将有序数组转换为二叉搜索树

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> 构造二叉搜索树，一不小心就平衡了 # 108.将有序数组转换为二叉搜索树 [力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/convert-sorted-array-to-binary-search-tree/) 将一个按照升序排列的有序数组，转换为一棵高度平衡二叉搜索树。本题中，一个高度平衡二叉树是指一个二叉树每个节点的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。示例: ![108.将有序数组转换为二叉搜索树](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20201022164420763.png) ## 算法公开课 **[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[构造平衡二叉搜索树！| LeetCode：108.将有序数组转换为二叉搜索树](https://www.bilibili.com/video/BV1uR4y1X7qL?share_source=copy_web)，相信结合视频在看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。 ## 思路做这道题目之前大家可以了解一下这几道： * [106.从中序与后序遍历序列构造二叉树](https://programmercarl.com/0106.从中序与后序遍历序列构造二叉树.html) * [654.最大二叉树](https://programmercarl.com/0654.最大二叉树.html)中其实已经讲过了，如果根据数组构造一棵二叉树。 * [701.二叉搜索树中的插入操作](https://programmercarl.com/0701.二叉搜索树中的插入操作.html) * [450.删除二叉搜索树中的节点](https://programmercarl.com/0450.删除二叉搜索树中的节点.html) 进入正题：题目中说要转换为一棵高度平衡二叉搜索树。为什么强调要平衡呢？因为只要给我们一个有序数组，如果强调平衡，都可以以线性结构来构造二叉搜索树。例如有序数组[-10，-3，0，5，9] 就可以构造成这样的二叉搜索树，如图。 ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20220930173553.png) 上图中，是符合二叉搜索树的特性吧，如果要这么做的话，是不是本题意义就不大了，所以才强调是平衡二叉搜索树。其实数组构造二叉树，构成平衡树是自然而然的事情，因为大家默认都是从数组中间位置取值作为节点元素，一般不会随机取。**所以想构成不平衡的二叉树是自找麻烦**。在[二叉树：构造二叉树登场！](https://programmercarl.com/0106.从中序与后序遍历序列构造二叉树.html)和[二叉树：构造一棵最大的二叉树](https://programmercarl.com/0654.最大二叉树.html)中其实已经讲过了，如果根据数组构造一棵二叉树。 **本质就是寻找分割点，分割点作为当前节点，然后递归左区间和右区间**。本题其实要比[二叉树：构造二叉树登场！](https://programmercarl.com/0106.从中序与后序遍历序列构造二叉树.html) 和 [二叉树：构造一棵最大的二叉树](https://programmercarl.com/0654.最大二叉树.html)简单一些，因为有序数组构造二叉搜索树，寻找分割点就比较容易了。分割点就是数组中间位置的节点。那么为问题来了，如果数组长度为偶数，中间节点有两个，取哪一个？取哪一个都可以，只不过构成了不同的平衡二叉搜索树。例如：输入：[-10,-3,0,5,9] 如下两棵树，都是这个数组的平衡二叉搜索树： ![108.将有序数组转换为二叉搜索树](https://code-thinking.cdn.bcebos.com/pics/108.将有序数组转换为二叉搜索树.png) 如果要分割的数组长度为偶数的时候，中间元素为两个，是取左边元素就是树1，取右边元素就是树2。 **这也是题目中强调答案不是唯一的原因。理解这一点，这道题目算是理解到位了**。 ### 递归递归三部曲： * 确定递归函数返回值及其参数删除二叉树节点，增加二叉树节点，都是用递归函数的返回值来完成，这样是比较方便的。相信大家如果仔细看了[二叉树：搜索树中的插入操作](https://programmercarl.com/0701.二叉搜索树中的插入操作.html)和[二叉树：搜索树中的删除操作](https://programmercarl.com/0450.删除二叉搜索树中的节点.html)，一定会对递归函数返回值的作用深有感触。那么本题要构造二叉树，依然用递归函数的返回值来构造中节点的左右孩子。再来看参数，首先是传入数组，然后就是左下标left和右下标right，我们在[二叉树：构造二叉树登场！](https://programmercarl.com/0106.从中序与后序遍历序列构造二叉树.html)中提过，在构造二叉树的时候尽量不要重新定义左右区间数组，而是用下标来操作原数组。所以代码如下：

// 左闭右闭区间[left, right]
TreeNode* traversal(vector<int>& nums, int left, int right)

这里注意，**我这里定义的是左闭右闭区间，在不断分割的过程中，也会坚持左闭右闭的区间，这又涉及到我们讲过的循环不变量**。在[二叉树：构造二叉树登场！](https://programmercarl.com/0106.从中序与后序遍历序列构造二叉树.html)，[35.搜索插入位置](https://programmercarl.com/0035.搜索插入位置.html) 和[59.螺旋矩阵II](https://programmercarl.com/0059.螺旋矩阵II.html)都详细讲过循环不变量。 * 确定递归终止条件这里定义的是左闭右闭的区间，所以当区间 left > right的时候，就是空节点了。代码如下：

if (left > right) return nullptr;

* 确定单层递归的逻辑首先取数组中间元素的位置，不难写出`int mid = (left + right) / 2;`，**这么写其实有一个问题，就是数值越界，例如left和right都是最大int，这么操作就越界了，在[二分法](https://programmercarl.com/0035.搜索插入位置.html)中尤其需要注意！** 所以可以这么写：`int mid = left + ((right - left) / 2);` 但本题leetcode的测试数据并不会越界，所以怎么写都可以。但需要有这个意识！取了中间位置，就开始以中间位置的元素构造节点，代码：`TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);`。接着划分区间，root的左孩子接住下一层左区间的构造节点，右孩子接住下一层右区间构造的节点。最后返回root节点，单层递归整体代码如下：

int mid = left + ((right - left) / 2);
TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);
root->left = traversal(nums, left, mid - 1);
root->right = traversal(nums, mid + 1, right);
return root;

这里`int mid = left + ((right - left) / 2);`的写法相当于是如果数组长度为偶数，中间位置有两个元素，取靠左边的。 * 递归整体代码如下：

class Solution {
private:
    TreeNode* traversal(vector<int>& nums, int left, int right) {
        if (left > right) return nullptr;
        int mid = left + ((right - left) / 2);
        TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);
        root->left = traversal(nums, left, mid - 1);
        root->right = traversal(nums, mid + 1, right);
        return root;
    }
public:
    TreeNode* sortedArrayToBST(vector<int>& nums) {
        TreeNode* root = traversal(nums, 0, nums.size() - 1);
        return root;
    }
};

**注意：在调用traversal的时候传入的left和right为什么是0和nums.size() - 1，因为定义的区间为左闭右闭**。 ### 迭代法迭代法可以通过三个队列来模拟，一个队列放遍历的节点，一个队列放左区间下标，一个队列放右区间下标。模拟的就是不断分割的过程，C++代码如下：（我已经详细注释）

class Solution {
public:
    TreeNode* sortedArrayToBST(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return nullptr;

        TreeNode* root = new TreeNode(0);   // 初始根节点
        queue<TreeNode*> nodeQue;           // 放遍历的节点
        queue<int> leftQue;                 // 保存左区间下标
        queue<int> rightQue;                // 保存右区间下标
        nodeQue.push(root);                 // 根节点入队列
        leftQue.push(0);                    // 0为左区间下标初始位置
        rightQue.push(nums.size() - 1);     // nums.size() - 1为右区间下标初始位置

        while (!nodeQue.empty()) {
            TreeNode* curNode = nodeQue.front();
            nodeQue.pop();
            int left = leftQue.front(); leftQue.pop();
            int right = rightQue.front(); rightQue.pop();
            int mid = left + ((right - left) / 2);

            curNode->val = nums[mid];       // 将mid对应的元素给中间节点

            if (left <= mid - 1) {          // 处理左区间
                curNode->left = new TreeNode(0);
                nodeQue.push(curNode->left);
                leftQue.push(left);
                rightQue.push(mid - 1);
            }

            if (right >= mid + 1) {         // 处理右区间
                curNode->right = new TreeNode(0);
                nodeQue.push(curNode->right);
                leftQue.push(mid + 1);
                rightQue.push(right);
            }
        }
        return root;
    }
};

## 总结 **在[二叉树：构造二叉树登场！](https://programmercarl.com/0106.从中序与后序遍历序列构造二叉树.html) 和 [二叉树：构造一棵最大的二叉树](https://programmercarl.com/0654.最大二叉树.html)之后，我们顺理成章的应该构造一下二叉搜索树了，一不小心还是一棵平衡二叉搜索树**。其实思路也是一样的，不断中间分割，然后递归处理左区间，右区间，也可以说是分治。此时相信大家应该对通过递归函数的返回值来增删二叉树很熟悉了，这也是常规操作。在定义区间的过程中我们又一次强调了循环不变量的重要性。最后依然给出迭代的方法，其实就是模拟取中间元素，然后不断分割去构造二叉树的过程。 ## 其他语言版本 ### Java 递归: 左闭右开 [left,right)

class Solution {
    public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
        return sortedArrayToBST(nums, 0, nums.length);
    }

    public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums, int left, int right) {
        if (left >= right) {
            return null;
        }
        if (right - left == 1) {
            return new TreeNode(nums[left]);
        }
        int mid = left + (right - left) / 2;
        TreeNode root = new TreeNode(nums[mid]);
        root.left = sortedArrayToBST(nums, left, mid);
        root.right = sortedArrayToBST(nums, mid + 1, right);
        return root;
    }
}

递归: 左闭右闭 [left,right]

class Solution {
    public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
        TreeNode root = traversal(nums, 0, nums.length - 1);
        return root;
    }

    // 左闭右闭区间[left, right]
    private TreeNode traversal(int[] nums, int left, int right) {
        if (left > right) return null;

        int mid = left + ((right - left) >> 1);
        TreeNode root = new TreeNode(nums[mid]);
        root.left = traversal(nums, left, mid - 1);
        root.right = traversal(nums, mid + 1, right);
        return root;
    }
}

迭代: 左闭右闭 [left,right]

class Solution {
    public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) return null;

        //根节点初始化
        TreeNode root = new TreeNode(-1);
        Queue<TreeNode> nodeQueue = new LinkedList<>();
        Queue<Integer> leftQueue = new LinkedList<>();
        Queue<Integer> rightQueue = new LinkedList<>();

        // 根节点入队列
        nodeQueue.offer(root);
        // 0为左区间下标初始位置
        leftQueue.offer(0);
        // nums.size() - 1为右区间下标初始位置
        rightQueue.offer(nums.length - 1);

        while (!nodeQueue.isEmpty()) {
            TreeNode currNode = nodeQueue.poll();
            int left = leftQueue.poll();
            int right = rightQueue.poll();
            int mid = left + ((right - left) >> 1);

            // 将mid对应的元素给中间节点
            currNode.val = nums[mid];

            // 处理左区间
            if (left <= mid - 1) {
                currNode.left = new TreeNode(-1);
                nodeQueue.offer(currNode.left);
                leftQueue.offer(left);
                rightQueue.offer(mid - 1);
            }

            // 处理右区间
            if (right >= mid + 1) {
                currNode.right = new TreeNode(-1);
                nodeQueue.offer(currNode.right);
                leftQueue.offer(mid + 1);
                rightQueue.offer(right);
            }
        }
        return root;
    }
}

### Python 递归法

class Solution:
    def traversal(self, nums: List[int], left: int, right: int) -> TreeNode:
        if left > right:
            return None

        mid = left + (right - left) // 2
        root = TreeNode(nums[mid])
        root.left = self.traversal(nums, left, mid - 1)
        root.right = self.traversal(nums, mid + 1, right)
        return root

    def sortedArrayToBST(self, nums: List[int]) -> TreeNode:
        root = self.traversal(nums, 0, len(nums) - 1)
        return root

迭代法

from collections import deque

class Solution:
    def sortedArrayToBST(self, nums: List[int]) -> TreeNode:
        if len(nums) == 0:
            return None

        root = TreeNode(0)  # 初始根节点
        nodeQue = deque()   # 放遍历的节点
        leftQue = deque()   # 保存左区间下标
        rightQue = deque()  # 保存右区间下标

        nodeQue.append(root)               # 根节点入队列
        leftQue.append(0)                  # 0为左区间下标初始位置
        rightQue.append(len(nums) - 1)     # len(nums) - 1为右区间下标初始位置

        while nodeQue:
            curNode = nodeQue.popleft()
            left = leftQue.popleft()
            right = rightQue.popleft()
            mid = left + (right - left) // 2

            curNode.val = nums[mid]  # 将mid对应的元素给中间节点

            if left <= mid - 1:  # 处理左区间
                curNode.left = TreeNode(0)
                nodeQue.append(curNode.left)
                leftQue.append(left)
                rightQue.append(mid - 1)

            if right >= mid + 1:  # 处理右区间
                curNode.right = TreeNode(0)
                nodeQue.append(curNode.right)
                leftQue.append(mid + 1)
                rightQue.append(right)

        return root

### Go 递归（隐含回溯）

func sortedArrayToBST(nums []int) *TreeNode {
    if len(nums) == 0 {    //终止条件，最后数组为空则可以返回
        return nil
    }
    idx := len(nums)/2
    root := &TreeNode{Val: nums[idx]} 

    root.Left = sortedArrayToBST(nums[:idx])
    root.Right = sortedArrayToBST(nums[idx+1:])

    return root
}

### JavaScript 递归

var sortedArrayToBST = function (nums) {
    const buildTree = (Arr, left, right) => {
        if (left > right)
            return null;

        let mid = Math.floor(left + (right - left) / 2);

        let root = new TreeNode(Arr[mid]);
        root.left = buildTree(Arr, left, mid - 1);
        root.right = buildTree(Arr, mid + 1, right);
        return root;
    }
    return buildTree(nums, 0, nums.length - 1);
};

迭代

var sortedArrayToBST = function(nums) {
    if(nums.length===0) {
        return null;
    }
    let root = new TreeNode(0);       //初始根节点
    let nodeQue = [root];             //放遍历的节点,并初始化
    let leftQue = [0];                //放左区间的下标,初始化
    let rightQue = [nums.length-1];   // 放右区间的下标

    while(nodeQue.length) {
        let curNode = nodeQue.pop();
        let left = leftQue.pop();
        let right = rightQue.pop();
        let mid = left + Math.floor((right-left)/2);

        curNode.val = nums[mid];      //将下标为mid的元素给中间节点

//         处理左区间
        if(left <= mid-1) {
            curNode.left = new TreeNode(0);
            nodeQue.push(curNode.left);
            leftQue.push(left);
            rightQue.push(mid-1);
        }

//         处理右区间
        if(right >= mid+1) {
            curNode.right = new TreeNode(0);
            nodeQue.push(curNode.right);
            leftQue.push(mid+1);
            rightQue.push(right);
        }
    }
    return root;
};

### TypeScript

function sortedArrayToBST(nums: number[]): TreeNode | null {
    function recur(nums: number[], left: number, right: number): TreeNode | null {
        if (left > right) return null;
        let mid: number = Math.floor((left + right) / 2);
        const root: TreeNode = new TreeNode(nums[mid]);
        root.left = recur(nums, left, mid - 1);
        root.right = recur(nums, mid + 1, right);
        return root;
    }
    return recur(nums, 0, nums.length - 1);
};

### C 递归

struct TreeNode* traversal(int* nums, int left, int right) {
    if (left > right) 
        return NULL;
    int mid = left + ((right - left) / 2);
    struct TreeNode* root = (struct TreeNode*)malloc(sizeof(struct TreeNode));
    root->val = nums[mid];
    root->left = traversal(nums, left, mid - 1);
    root->right = traversal(nums, mid + 1, right);
    return root;
}

struct TreeNode* sortedArrayToBST(int* nums, int numsSize) {
    struct TreeNode* root = traversal(nums, 0, numsSize - 1);
    return root;
}

### Scala 递归:

object Solution {
  def sortedArrayToBST(nums: Array[Int]): TreeNode = {
    def buildTree(left: Int, right: Int): TreeNode = {
      if (left > right) return null // 当left大于right的时候，返回空
      // 最中间的节点是当前节点
      var mid = left + (right - left) / 2
      var curNode = new TreeNode(nums(mid))
      curNode.left = buildTree(left, mid - 1)
      curNode.right = buildTree(mid + 1, right)
      curNode
    }
    buildTree(0, nums.size - 1)
  }
}

### Rust 递归：

impl Solution {
    pub fn sorted_array_to_bst(nums: Vec<i32>) -> Option<Rc<RefCell<TreeNode>>> {
        if nums.is_empty() {
            return None;
        }
        let index = nums.len() / 2;
        let mut root = TreeNode::new(nums[index]);

        root.left = Self::sorted_array_to_bst(nums[..index].to_vec());
        root.right = Self::sorted_array_to_bst(nums[index + 1..].to_vec());
        Some(Rc::new(RefCell::new(root)))
    }
}