0518.零钱兑换II

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# 518.零钱兑换II [力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/) 给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。示例 1: * 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] * 输出: 4 解释: 有四种方式可以凑成总金额: * 5=5 * 5=2+2+1 * 5=2+1+1+1 * 5=1+1+1+1+1 示例 2: * 输入: amount = 3, coins = [2] * 输出: 0 * 解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。示例 3: * 输入: amount = 10, coins = [10] * 输出: 1 注意，你可以假设： * 0 <= amount (总金额) <= 5000 * 1 <= coin (硬币面额) <= 5000 * 硬币种类不超过 500 种 * 结果符合 32 位符号整数 ## 算法公开课 **[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[装满背包有多少种方法？组合与排列有讲究！| LeetCode：518.零钱兑换II](https://www.bilibili.com/video/BV1KM411k75j/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。 ## 思路这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。对完全背包还不了解的同学，可以看这篇：[动态规划：关于完全背包，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 但本题和纯完全背包不一样，**纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！** 注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？例如示例一： 5 = 2 + 2 + 1 5 = 2 + 1 + 2 这是一种组合，都是 2 2 1。如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。 **组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序**。其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈。那我为什么要介绍这些呢，因为这和下文讲解遍历顺序息息相关! 回归本题，动规五步曲来分析如下： 1. 确定dp数组以及下标的含义 dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j] 2. 确定递推公式 dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]]; **这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];** 3. dp数组如何初始化首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。那么 dp[0] = 1 有没有含义，其实既可以说凑成总金额0的货币组合数为1，也可以说凑成总金额0的货币组合数为0，好像都没有毛病。但题目描述中，也没明确说 amount = 0 的情况，结果应该是多少。这里我认为题目描述还是要说明一下，因为后台测试数据是默认，amount = 0 的情况，组合数为1的。下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j] dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。 4. 确定遍历顺序本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？我在[动态规划：关于完全背包，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html)中讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。 **但本题就不行了！** 因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。我们先来看外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。代码如下：

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。 **所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！** 如果把两个for交换顺序，代码如下：

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。 **此时dp[j]里算出来的就是排列数！** 可能这里很多同学还不是很理解，**建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来，对比看一看！（实践出真知）** 5. 举例推导dp数组输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下： ![518.零钱兑换II](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210120181331461.jpg) 最后红色框dp[amount]为最终结果。以上分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

* 时间复杂度: O(mn)，其中 m 是amount，n 是 coins 的长度 * 空间复杂度: O(m) 是不是发现代码如此精简 ## 总结本题的递推公式，其实我们在[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就已经讲过了，**而难点在于遍历顺序！** 在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。 **如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包**。 **如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品**。可能说到排列数录友们已经有点懵了，后面Carl还会安排求排列数的题目，到时候在对比一下，大家就会发现神奇所在！ ## 其他语言版本 ### Java：

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        //递推表达式
        int[] dp = new int[amount + 1];
        //初始化dp数组，表示金额为0时只有一种情况，也就是什么都不装
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}

// 二维dp数组版本，方便理解
class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[][] dp = new int[coins.length][amount + 1];
        // 只有一种硬币的情况
        for (int i = 0; i <= amount; i += coins[0]) {
            dp[0][i] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < coins.length; i++) {
            for (int j = 0; j <= amount; j++) {
                // 第i种硬币使用0~k次，求和
                for (int k = 0; k * coins[i] <= j; k++) {
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j - k * coins[i]];
                }
            }
        }
        return dp[coins.length - 1][amount];
    }
}

### Python：

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        dp = [0]*(amount + 1)
        dp[0] = 1
        # 遍历物品
        for i in range(len(coins)):
            # 遍历背包
            for j in range(coins[i], amount + 1):
                dp[j] += dp[j - coins[i]]
        return dp[amount]

### Go：

func change(amount int, coins []int) int {
    // 定义dp数组
    dp := make([]int, amount+1)
    // 初始化,0大小的背包, 当然是不装任何东西了, 就是1种方法
    dp[0]  = 1
    // 遍历顺序
    // 遍历物品
    for i := 0 ;i < len(coins);i++ {
        // 遍历背包
        for j:= coins[i] ; j <= amount ;j++ {
            // 推导公式
            dp[j] += dp[j-coins[i]]
        }
    }
    return dp[amount]
}

### Rust:

impl Solution {
    pub fn change(amount: i32, coins: Vec<i32>) -> i32 {
        let amount = amount as usize;
        let mut dp = vec![0; amount + 1];
        dp[0] = 1;
        for coin in coins {
            for j in coin as usize..=amount {
                dp[j] += dp[j - coin as usize];
            }
        }
        dp[amount]
    }
}

### Javascript：

const change = (amount, coins) => {
    let dp = Array(amount + 1).fill(0);
    dp[0] = 1;

    for(let i =0; i < coins.length; i++) {
        for(let j = coins[i]; j <= amount; j++) {
            dp[j] += dp[j - coins[i]];
        }
    }

    return dp[amount];
}

### TypeScript：

function change(amount: number, coins: number[]): number {
    const dp: number[] = new Array(amount + 1).fill(0);
    dp[0] = 1;
    for (let i = 0, length = coins.length; i < length; i++) {
        for (let j = coins[i]; j <= amount; j++) {
            dp[j] += dp[j - coins[i]];
        }
    }
    return dp[amount];
};

### Scala:

object Solution {
  def change(amount: Int, coins: Array[Int]): Int = {
    var dp = new Array[Int](amount + 1)
    dp(0) = 1
    for (i <- 0 until coins.length) {
      for (j <- coins(i) to amount) {
        dp(j) += dp(j - coins(i))
      }
    }
    dp(amount)
  }
}