0718.最长重复子数组

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# 718. 最长重复子数组 [力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/maximum-length-of-repeated-subarray/) 给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。示例：输入： * A: [1,2,3,2,1] * B: [3,2,1,4,7] * 输出：3 * 解释：长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1] 。提示： * 1 <= len(A), len(B) <= 1000 * 0 <= A[i], B[i] < 100 ## 算法公开课 **[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[动态规划之子序列问题，想清楚DP数组的定义 | LeetCode：718.最长重复子数组](https://www.bilibili.com/video/BV178411H7hV)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。 ## 思路注意题目中说的子数组，其实就是连续子序列。要求两个数组中最长重复子数组，如果是暴力的解法只需要先两层for循环确定两个数组起始位置，然后再来一个循环可以是for或者while，来从两个起始位置开始比较，取得重复子数组的长度。本题其实是动规解决的经典题目，我们只要想到用二维数组可以记录两个字符串的所有比较情况，这样就比较好推递推公式了。动规五部曲分析如下： 1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义 dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。（**特别注意**： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是以A[i-1]为结尾的字符串）此时细心的同学应该发现，那dp[0][0]是什么含义呢？总不能是以下标-1为结尾的A数组吧。其实dp[i][j]的定义也就决定着，我们在遍历dp[i][j]的时候i 和 j都要从1开始。那有同学问了，我就定义dp[i][j]为以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度。不行么？行倒是行！但实现起来就麻烦一点，需要单独处理初始化部分，在本题解下面的拓展内容里，我给出了第二种 dp数组的定义方式所对应的代码和讲解，大家比较一下就了解了。 2. 确定递推公式根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; 根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！ 3. dp数组如何初始化根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; 所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。举个例子A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。 4. 确定遍历顺序外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。那又有同学问了，外层for循环遍历B，内层for循环遍历A。不行么？也行，一样的，我这里就用外层for循环遍历A，内层for循环遍历B了。同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。代码如下：

for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
    for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
        if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
        }
        if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
    }
}

5. 举例推导dp数组拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下： ![718.最长重复子数组](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/2021011215282060.jpg) 以上五部曲分析完毕，C++代码如下：

// 版本一
class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        vector<vector<int>> dp (nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));
        int result = 0;
        for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }
                if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
            }
        }
        return result;
    }
};

* 时间复杂度：O(n × m)，n 为A长度，m为B长度 * 空间复杂度：O(n × m) ### 滚动数组在如下图中： ![718.最长重复子数组](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/2021011215282060-20230310134554486.jpg) 我们可以看出dp[i][j]都是由dp[i - 1][j - 1]推出。那么压缩为一维数组，也就是dp[j]都是由dp[j - 1]推出。也就是相当于可以把上一层dp[i - 1][j]拷贝到下一层dp[i][j]来继续用。 **此时遍历B数组的时候，就要从后向前遍历，这样避免重复覆盖**。

// 版本二
class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& A, vector<int>& B) {
        vector<int> dp(vector<int>(B.size() + 1, 0));
        int result = 0;
        for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
            for (int j = B.size(); j > 0; j--) {
                if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
                    dp[j] = dp[j - 1] + 1;
                } else dp[j] = 0; // 注意这里不相等的时候要有赋0的操作
                if (dp[j] > result) result = dp[j];
            }
        }
        return result;
    }
};

* 时间复杂度：$O(n × m)$，n 为A长度，m为B长度 * 空间复杂度：$O(m)$ ## 拓展前面讲了 dp数组为什么定义：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。我就定义dp[i][j]为以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度。不行么？当然可以，就是实现起来麻烦一些。如果定义 dp[i][j]为以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，那么第一行和第一列毕竟要进行初始化，如果nums1[i] 与 nums2[0] 相同的话，对应的 dp[i][0]就要初始为1，因为此时最长重复子数组为1。 nums2[j] 与 nums1[0]相同的话，同理。所以代码如下：

// 版本三
class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        vector<vector<int>> dp (nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));
        int result = 0;

        // 要对第一行，第一列经行初始化
        for (int i = 0; i < nums1.size(); i++) if (nums1[i] == nums2[0]) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < nums2.size(); j++) if (nums1[0] == nums2[j]) dp[0][j] = 1;

        for (int i = 0; i < nums1.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < nums2.size(); j++) {
                if (nums1[i] == nums2[j] && i > 0 && j > 0) { // 防止 i-1 出现负数
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }
                if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
            }
        }
        return result;
    }
};

大家会发现这种写法一定要多写一段初始化的过程。而且为了让 `if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];` 收集到全部结果，两层for训练一定从0开始遍历，这样需要加上 `&& i > 0 && j > 0`的判断。对于基础不牢的小白来说，在推导出转移方程后可能疑惑上述代码为什么要从`i=0,j=0`遍历而不是从`i=1,j=1`开始遍历，原因在于这里如果不是从`i=0,j=0`位置开始遍历，会漏掉如下样例结果：

nums1 = [70,39,25,40,7]
nums2 = [52,20,67,5,31]

当然，如果你愿意也可以使用如下代码，与上面那个c++是同一思路：

class Solution {
    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
        int len1 = nums1.length;
        int len2 = nums2.length;
        int[][] result = new int[len1][len2];

        int maxresult = Integer.MIN_VALUE;

        for(int i=0;i<len1;i++){
            if(nums1[i] == nums2[0])
                result[i][0] = 1;
            if(maxresult<result[i][0])
                    maxresult = result[i][0];
        }

        for(int j=0;j<len2;j++){
            if(nums1[0] == nums2[j])
                result[0][j] = 1;
            if(maxresult<result[0][j])
                maxresult = result[0][j];
        }

        for(int i=1;i<len1;i++){
            for(int j=1;j<len2;j++){

                if(nums1[i]==nums2[j])
                    result[i][j] = result[i-1][j-1]+1;

                if(maxresult<result[i][j])
                    maxresult = result[i][j];

            }

        }

        return maxresult;
    }
}

对于小白来说一定要明确dp数组中初始化的数据是什么整体而言相对于版本一来说还是多写了不少代码。而且逻辑上也复杂了一些。优势就是dp数组的定义，更直观一点。 ## 其他语言版本 ### Java：

// 版本一
class Solution {
    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
        int result = 0;
        int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];

        for (int i = 1; i < nums1.length + 1; i++) {
            for (int j = 1; j < nums2.length + 1; j++) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                    result = Math.max(result, dp[i][j]);
                }
            }
        }

        return result;
    }
}

// 版本二: 滚动数组
class Solution {
    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
        int[] dp = new int[nums2.length + 1];
        int result = 0;

        for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
            for (int j = nums2.length; j > 0; j--) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                    dp[j] = dp[j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[j] = 0;
                }
                result = Math.max(result, dp[j]);
            }
        }
        return result;
    }
}

### Python： 2维DP

class Solution:
    def findLength(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        # 创建一个二维数组 dp，用于存储最长公共子数组的长度
        dp = [[0] * (len(nums2) + 1) for _ in range(len(nums1) + 1)]
        # 记录最长公共子数组的长度
        result = 0

        # 遍历数组 nums1
        for i in range(1, len(nums1) + 1):
            # 遍历数组 nums2
            for j in range(1, len(nums2) + 1):
                # 如果 nums1[i-1] 和 nums2[j-1] 相等
                if nums1[i - 1] == nums2[j - 1]:
                    # 在当前位置上的最长公共子数组长度为前一个位置上的长度加一
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
                # 更新最长公共子数组的长度
                if dp[i][j] > result:
                    result = dp[i][j]

        # 返回最长公共子数组的长度
        return result

1维DP

class Solution:
    def findLength(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        # 创建一个一维数组 dp，用于存储最长公共子数组的长度
        dp = [0] * (len(nums2) + 1)
        # 记录最长公共子数组的长度
        result = 0

        # 遍历数组 nums1
        for i in range(1, len(nums1) + 1):
            # 用于保存上一个位置的值
            prev = 0
            # 遍历数组 nums2
            for j in range(1, len(nums2) + 1):
                # 保存当前位置的值，因为会在后面被更新
                current = dp[j]
                # 如果 nums1[i-1] 和 nums2[j-1] 相等
                if nums1[i - 1] == nums2[j - 1]:
                    # 在当前位置上的最长公共子数组长度为上一个位置的长度加一
                    dp[j] = prev + 1
                    # 更新最长公共子数组的长度
                    if dp[j] > result:
                        result = dp[j]
                else:
                    # 如果不相等，将当前位置的值置为零
                    dp[j] = 0
                # 更新 prev 变量为当前位置的值，供下一次迭代使用
                prev = current

        # 返回最长公共子数组的长度
        return result

2维DP 扩展

class Solution:
    def findLength(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        # 创建一个二维数组 dp，用于存储最长公共子数组的长度
        dp = [[0] * (len(nums2) + 1) for _ in range(len(nums1) + 1)]
        # 记录最长公共子数组的长度
        result = 0

        # 对第一行和第一列进行初始化
        for i in range(len(nums1)):
            if nums1[i] == nums2[0]:
                dp[i + 1][1] = 1
        for j in range(len(nums2)):
            if nums1[0] == nums2[j]:
                dp[1][j + 1] = 1

        # 填充dp数组
        for i in range(1, len(nums1) + 1):
            for j in range(1, len(nums2) + 1):
                if nums1[i - 1] == nums2[j - 1]:
                    # 如果 nums1[i-1] 和 nums2[j-1] 相等，则当前位置的最长公共子数组长度为左上角位置的值加一
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
                if dp[i][j] > result:
                    # 更新最长公共子数组的长度
                    result = dp[i][j]

        # 返回最长公共子数组的长度
        return result

### Go：

func findLength(A []int, B []int) int {
    m, n := len(A), len(B)
    res := 0
    dp := make([][]int, m+1)
    for i := 0; i <= m; i++ { 
        dp[i] = make([]int, n+1)
    }

    for i := 1; i <= m; i++ {
        for j := 1; j <= n; j++ {
            if A[i-1] == B[j-1] {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            }
            if dp[i][j] > res {
                res = dp[i][j]
            }
        }
    }
    return res
}

// 滚动数组
func findLength(nums1 []int, nums2 []int) int {
    n, m, res := len(nums1), len(nums2), 0
    dp := make([]int, m+1)
    for i := 1; i <= n; i++ {
        for j := m; j >= 1; j-- {
            if nums1[i-1] == nums2[j-1] {
                dp[j] = dp[j-1] + 1
            } else {
                dp[j] = 0  // 注意这里不相等要赋值为0，供下一层使用
            }
            res = max(res, dp[j]) 
        }
    }
    return res
}
func max(a, b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}

### JavaScript： > 动态规划

const findLength = (A, B) => {
    // A、B数组的长度
    const [m, n] = [A.length, B.length];
    // dp数组初始化，都初始化为0
    const dp = new Array(m + 1).fill(0).map(x => new Array(n + 1).fill(0));
    // 初始化最大长度为0
    let res = 0;
    for (let i = 1; i <= m; i++) {
        for (let j = 1; j <= n; j++) {
            // 遇到A[i - 1] === B[j - 1]，则更新dp数组
            if (A[i - 1] === B[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            }
            // 更新res
            res = dp[i][j] > res ? dp[i][j] : res;
        }
    }
    // 遍历完成，返回res
    return res;
};

> 滚动数组

const findLength = (nums1, nums2) => {
    let len1 = nums1.length, len2 = nums2.length;
    // dp[i][j]: 以nums1[i-1]、nums2[j-1]为结尾的最长公共子数组的长度
    let dp = new Array(len2+1).fill(0);
    let res = 0;
    for (let i = 1; i <= len1; i++) {
        for (let j = len2; j > 0; j--) {
            if (nums1[i-1] === nums2[j-1]) {
                dp[j] = dp[j-1] + 1;
            } else {
                dp[j] = 0;
            }
            res = Math.max(res, dp[j]);
        }
    }
    return res;
}

### TypeScript： > 动态规划：

function findLength(nums1: number[], nums2: number[]): number {
    /**
        dp[i][j]：nums[i-1]和nums[j-1]结尾，最长重复子数组的长度
     */
    const length1: number = nums1.length,
        length2: number = nums2.length;
    const dp: number[][] = new Array(length1 + 1).fill(0)
        .map(_ => new Array(length2 + 1).fill(0));
    let resMax: number = 0;
    for (let i = 1; i <= length1; i++) {
        for (let j = 1; j <= length2; j++) {
            if (nums1[i - 1] === nums2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                resMax = Math.max(resMax, dp[i][j]);
            }
        }
    }
    return resMax;
};

> 滚动数组：

function findLength(nums1: number[], nums2: number[]): number {
    const length1: number = nums1.length,
        length2: number = nums2.length;
    const dp: number[] = new Array(length1 + 1).fill(0);
    let resMax: number = 0;
    for (let i = 1; i <= length1; i++) {
        for (let j = length2; j >= 1; j--) {
            if (nums1[i - 1] === nums2[j - 1]) {
                dp[j] = dp[j - 1] + 1;
                resMax = Math.max(resMax, dp[j]);
            } else {
                dp[j] = 0;
            }
        }
    }
    return resMax;
};

Rust: > 滚动数组

impl Solution {
    pub fn find_length(nums1: Vec<i32>, nums2: Vec<i32>) -> i32 {
        let (mut res, mut dp) = (0, vec![0; nums2.len()]);

        for n1 in nums1 {
            for j in (0..nums2.len()).rev() {
                if n1 == nums2[j] {
                    dp[j] = if j == 0 { 1 } else { dp[j - 1] + 1 };
                    res = res.max(dp[j]);
                } else {
                    dp[j] = 0;
                }
            }
        }
        res
    }
}